Що таке двійкова система числення?
Двійкова арифметика – це система математичних дій, що виконується з числами, записаними лише за допомогою двох цифр: 0 і 1.
Вчимося додавати, віднімати, множити та ділити двійкові числа – працюємо з фундаментальними законами сучасної цифрової електроніки.
Двійкова арифметика: додавання, множення, віднімання
Ми звикли рахувати в десятковій системі, бо маємо десять пальців – і це зручно. Але якби в нас було, скажімо, дванадцять пальців, система числення могла б бути дванадцятковою, і ми сприймали б її як звичну.
Коли справа доходить до двійкової системи числення, складно ось так одразу переключитися на її арифметику – хоча, здавалося б, принципи такі самі, як для десяткової. Адже там є всі звичні операції: додавання, віднімання, множення, ділення. Єдина відмінність: у двійкових числах використовуються лише дві цифри – нуль і одиниця.
Позбудьмося страху і нарешті дізнаємося, як проводити знайомі нам математичні операції в двійковій системі.
Додавання двійкових чисел
Правила додавання двійкових чисел схожі на звичні нам: додавання відбувається порозрядно справа наліво, при цьому важливо пам’ятати про перенесення чисел у новий розряд.
У десятковій системі в нас усього 10 цифр: від 0 до 9. Коли ми складаємо 1 і 9, у нас виходить переповнення, оскільки більше ніж 9 в одному розряді не можна записати. Тому ми переносимо одиницю в наступний, отримуємо 10.
Двійкова система працює аналогічно: щоб зрозуміти, як складати числа, потрібно пам’ятати про це переповнення. Загалом у двійковій системі дві цифри – 0 і 1. Якщо скласти 1 і 1, ми отримаємо переповнення, а отже, одиниця піде в наступний розряд, результатом стане 10 (тільки не «десять», а «один-нуль»).
Якщо уявити правила додавання двійкових чисел у загальному вигляді, отримаємо таку таблицю.
Але краще розібратися на прикладах.
Приклад 1. Складімо 1100 і 101.
Розглянемо приклад докладніше. Як ми вже згадували раніше, додавання відбувається справа наліво. Розряди рахуються теж справа наліво:
- Перший: 0 + 1 = 1.
- Другий: 0 + 0 = 0.
- Третій: 1 + 1 = 10 – переповнення, одиниця переходить у наступний розряд.
- Четвертий: 1 + 0 + 1 = 10 – додаємо одиницю з минулого розряду, отримуємо переповнення, одиниця переходить у наступний розряд.
- П’ятий: 0 + 0 + 1 = 1 – одиниця прийшла з попереднього розряду.
Приклад 2. Додамо 1111 і 111.
Тепер порозрядно:
- Перший: 1 + 1 + 1 = 0 – одиниця переходить у наступний розряд.
- Другий: 1 + 1 + 1 + 1 = 1 – одиниця переходить у наступний розряд.
- Третій: 1 + 1 + 1 + 1 = 1 – одиниця переходить у наступний розряд.
- Четвертий: 1 + 0 + 1 = 0 – одиниця переходить у наступний розряд.
- П’ятий: 0 + 0 + 1 = 1.
Начебто поки що нескладно. Тож спробуйте самі скласти 1101 і 1011, щоб закріпити знання.
Множення двійкових чисел
Множення у двійковій системі, як у десятковій, ґрунтується на додаванні – і вмінні рахувати в стовпчик.
Зведемо в таблицю правила множення двійкових чисел.
Давайте тепер подивимося на реальних прикладах, як правильно множити двійкові числа.
Приклад 1. Помножимо 110 на 10.
Тут ми скористаємося звичним шкільним «стовпчиком»: спочатку множимо верхнє число, 110, на 0, потім на 1, а потім складаємо отримані два і отримуємо результат.
По суті, якщо ми множимо число на нуль, то воно перетворюється на нуль, а якщо на одиницю – залишається незмінним, але зміщується на число розрядів, що дорівнює номеру розряду цієї одиниці, як у звичайному множенні:
- 110 × 0 = 000;
- 110 × 1 = 110.
Зсуваємо 110 на один розряд ліворуч і складаємо результати проміжних множень:
- 000 + 1100 = 1100.
Ми отримали 1100, тому що змістили результат множення 110 × 1 на один розряд ліворуч, а потім додали один 0 праворуч – як у звичайному множенні.
Приклад 2. Давайте тепер помножимо 101 на 101.
Не лякайтеся, що в нас вийшло три числа, які потрібно скласти: правила залишаються тими самими. Ще можна приписувати додаткові нулі туди, де знаходиться порожній простір – це допоможе не заплутатися.
Розберемо покроково:
- 101 × 1 = 101;
- 101 × 0 = 000;
- 101 × 1 = 101.
Знову зсуваємо вліво проміжні результати і складаємо:
- 101 + 0000 + 10100 = 11001.
Спробуйте самі помножити 1101 на 111.
Віднімання двійкових чисел
Правила двійкового віднімання теж нічим не відрізняються від десяткового. Ми також віднімаємо порозрядно і, якщо потрібно, займаємо одиницю зі старшого розряду.
Зауважте, що 0 – 1 = 1. Це все тому, що ми забираємо одиницю зі старшого розряду й отримуємо 10, або 2 у десятковій системі, а якщо відняти від 10 число 1, отримаємо 1 (адже 2 – 1 = 1).
Перейдемо до прикладів, щоб зрозуміти, як віднімати одне число від іншого.
Приклад 1. Віднімемо від 1100 число 11.
Розберемо докладніше порозрядно:
- Перший: 0 – 1 = 1 – займаємо одиницю зі старшого розряду.
- Другий: 1 – 1 = 0 – оскільки звідси зайняли одиницю, але в нас її не було, ми взяли її з наступного розряду і відняли одиницю від цього.
- Третій: 0 – 0 = 0 – із цього розряду одиниця пішла в перший.
- Четвертий: 1 – 0 = 1 – тут усе нормально.
Усе те саме знайоме нам віднімання.
Приклад 2. Віднімемо від 1011 число 101.
Той самий алгоритм за розрядами:
- Перший: 1 – 1 = 0.
- Другий: 1 – 0 = 1.
- Третій: 0 – 1 = 1 – зайняли одиницю з наступного розряду.
- Четвертий: 0 – 0 = 0 – віддали одиницю в попередній розряд.
Здається, що все нескладно. Спробуйте тепер самі відняти від 11010 число 1111.
Ділення двійкових чисел
Ви здивуєтеся, але правила ділення двійкових чисел схожі на ділення десяткових. Малюємо звичний «стовпчик», множимо, віднімаємо, отримуємо результат.
Таблиці тут немає, тому що вона безглузда – давайте відразу на прикладах розбирати, як ділити двійкові числа.
Приклад 1. Поділити 1100 на 10.
У нас є тільки два варіанти: помножити дільник на 1 або на 0. Тому алгоритм буде таким:
- Дивимося на ділене, бачимо, що перші дві його цифри – 11. Множимо дільник на 1 і віднімаємо з 11 число 10.
- Отримали 1, дописуємо праворуч наступну за порядком цифру – 0. Тепер 10 дорівнює дільнику, отже, теж множимо його на 1 і віднімаємо.
- Отримуємо 0. Але в нас ще залишився один 0 у діленого – дописуємо його праворуч від отриманого 0.
- Число 0 менше, ніж 10, тому множимо дільник на 0. Отримуємо кінцеву відповідь – 110.
Приклад 2. Поділити 10010 на 110.
Покроковий алгоритм:
- Перші три числа діленого менші, ніж дільник – отже, множимо дільник на 0 і віднімаємо. Отримуємо 100.
- Дописуємо 1 праворуч від 100, бачимо, що 1001 більше, ніж 110, тому множимо дільник на 1 і віднімаємо його від 1001. Отримуємо 11.
- Дописуємо 0 праворуч. Отримане 110 дорівнює дільнику, тому теж множимо його на 1, отримуємо кінцевий результат.
Спробуйте самі тепер поділити 10100 на 100.
Що запам’ятати
Двійкова арифметика багато в чому схожа на десяткову: ми так само можемо додавати, віднімати, ділити та множити числа стовпчиком.
Щоправда, у двійковій системі лише дві цифри: 0 і 1 – тому звичні математичні операції в ній можуть здатися трохи дивними. На щастя, в основі двійкової арифметики лежать прості принципи, які потрібно запам’ятати.
