Чи замислювалися ви, з яких чисел починається математика і що ми насправді використовуємо, коли просто рахуємо предмети?
Що таке натуральні числа?
Натуральні числа – це числа, що використовуються для лічби та впорядкування: 1, 2, 3 і так далі.
У цій статті ми розглянемо, що таке натуральні числа, звідки вони беруться, чому з ними працюємо в початковій математиці та як правильно їх застосовувати.
Визначення, властивості, приклади – занурюємося в основи математики.
Як влаштовані натуральні числа
Натуральні числа стали першою математичною системою, яка заклала основу сучасної арифметики. Уже в 3000 році до н. е. стародавні єгиптяни використовували їх для вимірювання полів і підрахунку врожаю. У їхніх записах кожному числу відповідав свій символ: вертикальна паличка позначала одиницю, підкова – десятку, а згорнута мотузка – сотню.
Але що таке натуральні числа? Давайте в цьому розберемося: познайомимося з їхніми властивостями, вивчимо особливості, а наприкінці – трохи попрактикуємося з натуральними числами та напишемо трохи коду мовою JavaScript.
Визначення натурального числа
Натуральне число – це число, яке виникає під час природної лічби предметів. Наприклад, під час перерахунку яблук у кошику або книжок на полиці ви будете використовувати натуральні числа: одне яблуко, два, три тощо.
Одиниця вважається мінімальним натуральним числом, а нуль до таких чисел не належить. Максимального натурального числа не існує, оскільки до будь-якого такого числа ви завжди можете додати одиницю й отримати наступне більше: 999, 1000, 1001 … і так до нескінченності.
Позитивні числа від одиниці до нескінченності утворюють множину натуральних чисел, що позначається буквою N. Ця множина слугує основою для побудови всіх інших числових множин у математиці:
- Цілі числа (Z) – розширення множини натуральних чисел, що включає від’ємні числа і нуль: … , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
- Раціональні числа (Q) – усі числа, які можна записати як відношення двох цілих чисел (дріб): ½, ¾, -5/2.
- Ірраціональні числа (I) – нескінченні неперіодичні десяткові дроби, які неможливо представити у вигляді відношення цілих чисел.
- Дійсні числа (R) – це все, що можна позначити крапкою на числовій прямій (включно з раціональними та ірраціональними числами).
- Комплексні числа (C) – це числа виду a + bi, де a і b – дійсні числа, а i – уявна одиниця. Наприклад: 2 + 3i, -1 + i.
Множину не слід плутати з натуральним рядом чисел. Множина – це набір натуральних чисел, у якому порядок не має значення. Наприклад, {3, 1, 4, 2} і {1, 2, 3, 4} – це одна й та сама множина. У натуральному ряду числа завжди йдуть послідовно і впорядковані за зростанням: 1, 2, 3, 4, 5…
Є ще один підхід до визначення натуральних чисел, який включає нуль до їхньої множини. Це пов’язано з різними поглядами математиків на природу нуля: одні не вважають його ні додатним, ні від’ємним числом, а інші зовсім не розглядають його як число. Тому в математичному записі множина з нулем позначається як N₀.
Кількісний зміст натуральних чисел
Кількісний зміст натурального числа полягає в тому, що воно виражає цілу кількість реальних об’єктів у навколишньому світі. Ви можете показати на руках три пальці, але не можете показати нуль пальців або їхню від’ємну кількість – це просто фізично неможливо.
Кількісний принцип можна застосувати до будь-яких предметів, які можна порахувати: зірочок, камінчиків, дерев, книжок і чого завгодно іншого.
Візьмемо приклад із матрицями з математики. Матриця – це об’єкт із рядками та стовпчиками, схожий на сторінку в клітинку із зошита. У кожного рядка і кожного стовпчика матриці є свій порядковий номер, причому їхня індексація починається з одиниці. Таким чином, номер будь-якої комірки рядка або стовпця матриці завжди буде натуральним числом.
Масиви в програмуванні схожі на матриці, але мають важливу відмінність: нумерація їхніх комірок починається з нуля. І хоча нуль не належить до натуральних чисел, фізично масив завжди починається з першого елемента (з індексом 0) і не може мати від’ємну довжину. При цьому довжина масиву зазвичай виражається натуральним числом.
Властивості натуральних чисел
Ви вже знаєте, що всі натуральні числа позитивні, починаються з одиниці та ніколи не закінчуються. Однак у них є й інші властивості:
- Під час додавання та множення натуральних чисел завжди виходить натуральне число. Наприклад: 5 + 3 = 8, 4 × 6 = 24.
- Під час ділення будь-якого натурального числа на одиницю результат дорівнює самому числу (8 ÷ 1 = 8). Якщо поділити натуральне число на саме себе, завжди вийде одиниця (8 ÷ 8 = 1).
- Переставляючи місцями числа під час додавання або множення, ми отримаємо той самий результат: 2 + 3 = 3 + 2 = 5, 2 × 4 = 4 × 2 = 8.
- Результат додавання або множення не залежить від порядку дій із числами. Приклад: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24.
- Якщо ми віднімаємо від меншого числа більше (3 – 5 = -2), то отримуємо від’ємне ціле число, яке не є натуральним числом.
- Множення числа на суму дорівнює сумі добутків цього числа на кожен доданок. Простіше кажучи: 2 × (3 + 4) = (2 × 3) + (2 × 4) = 6 + 8 = 14.
- Під час множення будь-якого числа на нуль результат завжди дорівнює нулю (5 × 0 = 0), причому сам нуль не є натуральним числом.
- Будь-яке натуральне число можна представити
Розряди натурального числа
Кожне натуральне число складається з розрядів. Розряд показує позицію цифри в числі, якщо рахувати справа наліво. Візьмемо число 425: у першому розряді стоїть цифра 5, у другому – 2, а в третьому – цифра 4.
У розрядів є порядковий номер і назва: одиниці, десятки, сотні, тисячі тощо. Крайній лівий розряд називається старшим, а крайній правий – молодшим. Розберемо для прикладу вибране число 425: перший розряд (5) – це одиниці, другий (2) – десятки, третій (4) – сотні. Виходить, старший розряд тут – сотні (4), а молодший – одиниці (5).
У програмуванні під час роботи з бітами також використовуються поняття старшого і молодшого біта. Наприклад, у двійковому числі 10100010 найлівіша одиниця – старший біт, а крайній правий нуль – молодший біт.
Натуральні числа можна класифікувати за їхньою довжиною: одноцифрове число – з одним розрядом, двоцифрове – з двома, трицифрове – з трьома, і так за зростанням. При цьому число з чотирма і більше розрядами називається багатозначним. Наприклад, число 1234 – це чотиризначне багатозначне число, а число 12345 – п’ятизначне багатозначне число.
Щоб легше читати великі числа, розряди об’єднують у класи. Кожен клас складається з трьох розрядів. Для наочності розберемо число 123 456 789. У ньому три класи: клас одиниць (789), клас тисяч (456) і клас мільйонів (123). Потім ідуть класи мільярдів, трильйонів та інші. Такий поділ допомагає краще розуміти структуру великих чисел.
Подільність натуральних чисел
Подільність – це властивість одного числа ділитися на інше без остачі. Наприклад, 12 ділиться на 3, бо 12 ÷ 3 = 4 без залишку. Але 13 на 5 вже не ділиться, бо в результаті буде остача.
З цією властивістю пов’язано поняття дільника: якщо число a ділиться на число b, то b – дільник числа a. Натуральне число завжди має принаймні два дільники: одиницю та саме себе. Якщо має лише ці два – його називають простим (наприклад, 2, 3, 5, 7). Якщо має більше дільників – складеним (наприклад, 4, 6, 8, 9).
Натуральні числа в програмуванні
У мовах програмування натуральні числа зазвичай позначаються як unsigned integer (тобто беззнакові цілі числа). Вони використовуються там, де не може бути від’ємного значення, наприклад, при зберіганні кількості об’єктів, індексів масивів, розмірів файлів, кроків у циклі.
Зокрема, у JavaScript ми можемо використовувати тип Number або BigInt для дуже великих натуральних чисел. Приклад коду:
let n = 10;
for (let i = 1; i <= n; i++) {
console.log(“Крок номер: ” + i);
}
У цьому прикладі ми перебираємо натуральні числа від 1 до 10 і виводимо їх. Такий цикл часто застосовується в задачах на лічбу, сортування, обробку списків тощо.
Підсумок
Натуральні числа використовують як інструмент для рахунку, впорядкування та кодування інформації. Вони зустрічаються у простих побутових ситуаціях, у побудові логіки програм і в аналітичних задачах.
Знання їхніх властивостей допомагає розв’язувати задачі на класифікацію, перевірку подільності, організацію даних і побудову обчислювальних структур. Це практичний набір навичок, який можна застосовувати як у навчанні, так і в роботі.
