Чи задумувалися ви, яке число можна вважати найбільшим і чи взагалі існує така межа?
Найбільше число у світі – це умовне поняття, яке використовується для опису надзвичайно великих величин, що виходять за межі звичного уявлення.
У цій статті розповідаємо про найбільші числа, відомі науці, і намагаємося зрозуміти, чи є межа у нескінченності.
Найбільше в світі число
Найочевидніша відповідь на запитання «Яке число найбільше?» – ніяке. Ми постійно можемо додавати до чисел по одиниці й отримувати все більше число. Але що щодо чисел, яким ми можемо дати визначення?
Класичні великі числа
Почнемо з чисел, які, хоч і величезні, можуть бути описані без великих труднощів. Для цього почнемо вважати числа ступенями десяти – тобто 10 з різною кількістю нулів. 102 – це число з двома нулями або 100, 104 – з чотирма, тобто 10 000, і так далі.
Мільйон
1 000 000
У мільйоні 6 нулів (або 10 у 6-му ступені). 1 024 000 пікселів становлять екран із роздільною здатністю 1280×800, яка була популярною в моніторах наприкінці нульових і на початку десятих.
У сучасному 4К-екрані кількість пікселів зросла до 8 294 400. А ще приблизно мільйон іранських ріалів потрібно віддати, щоб купити 25 доларів.
Мільярд
1 000 000 000 000
Після мільйона йде мільярд – або 10 у 9-му ступені. До стількох ви дорахуєте за 31 рік і 8 місяців, якщо рахуватимете раз на секунду. Загалом у світі живе близько 8 мільярдів людей і приблизно 1,2 мільярда овець.
Трильйон
1 000 000 000 000 000 000
За мільярдом іде трильйон – 10 у 12-му ступені. Щоб дорахувати до трильйона у той самий спосіб, що ми описали вище, знадобиться вже понад 31 тисячу років. А ще приблизно стільки бактерій живе на поверхні тіла середньостатистичної людини.
Квадрильйон
1 000 000 000 000 000 000 000 000
Наступне за трильйоном – квадрильйон, або 10 у 15-му ступені. Вчені вважають, що на землі живе приблизно 20 квадрильйонів мурах, або близько 2,5 мільйона на кожну людину.
Квінтильйон
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Далі в програмі – квінтильйон, або 10 у 18-му ступені. 43 квінтильйони – кількість можливих комбінацій оригінального кубика Рубіка.
1946 року, під час найбільшої гіперінфляції в історії, центральний банк Угорщини розпочав друк валюти номіналом у 100 квінтильйонів пенге. Щоправда, проіснували такі гроші менше місяця.
Секстильйон
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Слідом за квінтильйоном іде секстильйон – або 10 у 21-му ступені. Саме стільки молекул міститься в 0,03 мілілітра води.
Септильйон
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Наступний на черзі – септильйон, або 10 у 24-му ступені. Приблизно стільки зірок, вважають учені, існує в спостережуваному Всесвіті – частині космосу, світло від якої ми гіпотетично можемо засікти.
Октильйон
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Октильйон – це 10 у 27-му ступені. Із 7 октиліонів атомів складається тіло середньостатистичної людини. Маса Землі в грамах дорівнює приблизно 6 октильйонам.
Нонільйон
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Нонільйон – це 10 у 30-му ступені. Наприклад, 1,98 нонільйона – маса Сонця в кілограмах.
Децильйон
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
За нонільйоном йде децильйон – 10 у 33-му ступені. Площа галактики Чумацький Шлях, за розрахунками деяких учених, становить близько 702 децильйонів квадратних кілометрів.
Інші великі числа
Назви чисел, вищих за децильйон, використовуються вкрай рідко. Але заради ілюстрації, того, наскільки гігантські числа можна зустріти, наведемо ще кілька прикладів.
| Назва числа | Ступінь десятки (кількість нулів) | Приклад використання |
| Квінвігінтильйон | 78 | Кількість атомів у спостережуваному Всесвіті |
| Гугол | 100 | Кількість років, потрібних, щоб надмасивна чорна діра втратила всю свою масу через випромінювання Гокінга. Це число дало назву компанії Google і напрямку математики, що вивчає надвеликі числа – гуголології |
| Загальновизнаної назви немає | 170 | Кількість можливих позицій у китайській грі Го |
| Загальновизнаної назви немає | 185 | Об’єм спостережуваного Всесвіту в планківських об’ємах. Планківський об’єм – це мінімально можлива одиниця об’єму в квантовій фізиці: він приблизно в гугол разів менший за мілілітр |
Як ви бачите, звичної нам системи запису (нотації) достатньо, щоб дійти до чисел далеко за межею практичного сенсу. Уже після 10 у 185-му ступені числа втрачають практичний сенс і переходять у сферу чистої математики та комбінаторики. Але це ще не все, для по-справжньому величезних чисел звичний запис занадто тісний.
Нотація Кнута
1976 року американський математик Дональд Кнут вирішив, що працювати з надвеликими числами у звичній нотації не дуже зручно. А раз відповідного інструменту немає – потрібно винайти його самому. Так у математиці з’явилися стрілки Кнута (↑).
Щоб зрозуміти, що вони собою являють і навіщо потрібні, згадаємо добре знайомі нам операції з числами: додавання, множення і піднесення до степеня. Тепер уявімо їх у вигляді сходинок, де кожна наступна сходинка повторює попередню кілька разів.
Додавання
Якщо ми пишемо 3 + 4, то маємо на увазі, що до числа 3 ми додаємо число 4. Отримуємо 7.
Множення
Якщо ми пишемо 3×4, то маємо на увазі, що число 3 ми складаємо із самим собою 4 – 1 рази, що дає нам 12.
Зведення в ступінь
Якщо ми пишемо 34, то маємо на увазі, що число 3 ми множимо на себе 4 – 1 рази. Отримуємо 81.
Тут у справу вступають стрілки Кнута. У цій нотації 3↑4 – це те саме, що й 34. Найцікавіше починається, коли ми додаємо кілька стрілок поспіль.
Тетрація
Якщо ми пишемо 3↑↑4, то маємо на увазі, що число 3 ми зводимо до степеня себе ж 4 – 1 раз. Для цього ми спочатку зводимо 3 до степеня 3, отримуємо 27. Потім зводимо 3 у ступінь 27, отримуємо 7 625 597 484 987. І нарешті зводимо 3 до степеня 7 625 597 484 987 – отримуємо настільки велике число, що записати його звичним способом просто неможливо.
Уявіть, що ми заповнили весь спостережуваний Всесвіт піском і щосекунди замінюємо всі ці піщинки новими. Якщо ми будемо займатися цим протягом 10 мільйонів років, то загальна кількість піщинок, які побували в нашому Всесвіті-пісочниці, і на одну мільйонну не наблизиться до числа 3↑↑4. Але і це не все.
Пентація
Якщо ми пишемо 3↑↑↑↑4, то маємо на увазі, що ми беремо тетрацію 3 і 4 і проводимо тетрацію цього числа 4 – 1 рази. Або виконуємо 3↑↑327. Отримане число настільки величезне, що, коли ми попросили ChatGPT зобразити це число без стрілок Кнута, він просто відмовився, пославшись на те, що його неможливо виразити у звичних цифрах.
Саме для випадків, коли число не вписується в рамки звичайних цифр, Дональд Кнут придумав використовувати стрілки. Таких ступенів можна зробити скільки завгодно, але навіть на пентації числа стають неймовірними.
Число Грема
1977 року американський математик-любитель Мартін Гарднер випустив статтю, в якій описав число Грема. Зробив він це після того, як вивчив неопубліковану роботу Рональда Грема і знайшов найбільше число, яке коли-небудь використовували в математичному доказі. Щоб пояснити, що таке число Грема, нам потрібно ввести змінну g.
Візьмемо число 3↑↑↑↑3 і назвемо його g1. Тепер уявімо число g2 – супероператор числа 3 з кількістю стрілок Кнута, що дорівнює g2-1. Тобто g2 = 3↑g13 або 3 з кількістю стрілок Кнута, що дорівнюють g1.
Різницю між g2 і g1 неможливо уявити. Якщо повернутися до метафори з піском і уявити, що незбагненно гігантське число g1 має розмір піщинки, то число g2 було б у неймовірну кількість разів більшим за спостережуваний Всесвіт. Наводити ілюстрації грандіозності цих чисел стає все складніше. Навіть спроба зіставити найкрихітніші та найбільші об’єкти, відомі нам, не надто допомагає.
Повернемося до нашої змінної g. Ми вже з’ясували, що загальний запис числа Грема виглядає як gn = 3↑gn-13, але саме число Грема – g64. Чому саме 64? Річ у тім, що число з’явилося в момент, коли його автор намагався розв’язати задачу з комбінаторики іншого математика, Френка Рамсея. Число Грема – розв’язок задачі, страшно уявити її умови.
Жодні спроби уявити масштаб числа g64 не мають сенсу. Щоб зберегти це число в цифровому форматі без використання стрілок Кнута та інших альтернативних нотацій, не вистачить пам’яті на всіх комп’ютерах світу. Але ми не закінчили. З 1977 року, коли Мартін Гарднер описав число Грема, минуло чимало часу, й інші математики запропонували більші, набагато більші числа. Розповімо про одне з таких.
Число Райо
26 січня 2007 року в Массачусетському технологічному університеті відбулася «Дуель великих чисел» – змагання між професорами філософії Адамом Ельгою та Аґустіном Райо на те, хто придумає більше число. Правила дуелі були такі:
- Учасники по черзі називають числа.
- Число має бути представлено таким чином, щоб його можна було записати з використанням обмеженої кількості символів.
- Не можна використовувати довільні числа, які не можуть бути пояснені за допомогою встановлених математичних концепцій і позначень. Тобто з відповіддю «будь-яке число, яке назве мій супротивник, плюс 1» виграти б не вийшло.
- Не можна повторювати визначення суперника, змінивши лише якісь із чисел у його відповіді.
Як нескладно здогадатися з назви цього розділу, переможцем дуелі став Агустін Райо.
Число Райо – це не конкретне число, а радше підхід до визначення числа. Сам Райо описував його так:
“Найменше число, яке більше за будь-яке число, що може бути точно визначене формулою мовою теорії множин першого порядку, з використанням менш ніж певної кількості символів.”
Для ілюстрації уявімо, що ми хочемо записати число з гугол символів на аркушах, з яких складається шкільний зошит. Припустимо, що кожна сторінка вміщує 30 ліній по 74 символи в кожній, або сумарно 2220 символів. Щоб написати наше число, знадобиться 1096 сторінок – набагато більше кількості атомів у Всесвіті. Жоден комп’ютер і приблизно не може розрахувати таке число.
На «Дуелі великих чисел» філософ дав більш складне визначення за допомогою формул, змінних і логічних операцій, тому правила змагання він не порушив і заслужено пішов додому переможцем.
Відтоді математики пропонували інші, теоретично ще більші числа, але багато хто з них, як-от, наприклад, BIG FOOT (так, це справжня назва числа), визначаються схожим способом, і точно встановити, чи більші вони за число Райо, складно, якщо взагалі можливо.
Нескінченність – не межа
Але що щодо нескінченності – чи можемо ми назвати її найбільшим числом? Нескінченність – це не число, а концепція, що описує відсутність кінцевої межі. Тож ні, не можемо. Однак навіть нескінченність не є останнім рубежем і в наших підрахунках. Усе тому, що нескінченності бувають різні й деякі нескінченності більші за інші.
Коли ми думаємо про нескінченність, найчастіше ми уявляємо нескінченність натуральних чисел, тих, що ми використовуємо для підрахунку окремих об’єктів. 1, 2, 3, 4, 5… і так далі. І так, це справді нескінченність – одна з багатьох. Додамо до неї всі раціональні числа – тобто прості дроби, наприклад ¾, – і отримаємо нескінченність зі своєю математичною назвою – алеф-нуль, або ℵ0.
Її особливість у тому, що, якби в нас була нескінченна кількість часу, ми могли б перерахувати всі символи в ній. Тобто теоретично ми можемо описати будь-яке число, що входить до ℵ0. З натуральними числами все просто, за 1 йде 2, за 126 йде 127, а після гугол логічно буде написати гугол + 1.
Ми навіть можемо описати всі раціональні числа, хоч це і трохи складніше. Для цього уявімо нескінченну матрицю простих дробів, вибудувану таким чином:
| 1/1 | 1/2 | 1/3 | 1/4 | … |
| 2/1 | 2/2 | 2/3 | 2/4 | … |
| 3/1 | 3/2 | 3/3 | 3/4 | … |
| 4/1 | 4/2 | 4/4 | 4/4 | … |
| … | … | … | … | … |
У цій матриці почнемо перераховувати числа по діагоналі:
1/1
2/1, 1/2
3/1, 2/2, 1/3
4/1, 3/2, 2/3, 1/4
Так, рухаючись матрицею, ми опишемо всі можливі раціональні числа. Так, на це нам знадобиться нескінченна кількість часу, але виключно з математичної точки зору це реально.
Але якщо ми візьмемо нескінченність дійсних чисел, ситуація зміниться. Дійсні числа – це підмножина, яка містить у собі всі раціональні та всі ірраціональні числа. Своєю чергою, ірраціональні числа – це числа, які ми не можемо представити у вигляді простого дробу. Наприклад, відоме нам зі школи число π. Такі числа ми позначаємо за допомогою десяткових дробів з нескінченною кількістю цифр після коми, що не повторюється: π = 3,1415926535…
Нескінченність дійсних чисел називається алеф-один (ℵ1). Математик Георг Кантор довів, що ця нескінченність більша за ℵ0, тому що, на відміну від алеф-нуль, у ній неможливо перелічити всі числа, навіть якби в нас була нескінченна кількість часу. І ось як він це зробив:
Уявімо нескінченну матрицю з довільними ірраціональними числами. Наприклад:
| 0, | 2 | 7 | 4 | 5 | 9 | … |
| 0, | 1 | 6 | 5 | 9 | 8 | … |
| 0, | 5 | 3 | 1 | 1 | 1 | … |
| 0, | 2 | 3 | 1 | 4 | 7 | … |
| 0, | 4 | 5 | 2 | 5 | 9 | … |
| 0, | 1 | 3 | 3 | 1 | 7 | … |
| … | … | … | … | … | … | … |
Створимо нове число – для цього почнемо з верхнього лівого кута і підемо вниз діагоналлю, додаючи до вихідного числа кожне число матриці, яке нам трапляється. Отримуємо 0,13157…
Тепер ми візьмемо це число і застосуємо до нього таке правило: кожну 1 після коми перетворимо на 2, а всі інші числа перетворимо на 1. Отримаємо число 0,21211… Таке число гарантовано не зустрічатиметься в нашій, здавалося б, нескінченній матриці. Тому що, виходячи з нашого правила, вона відрізнятиметься від будь-якого іншого числа хоча б однією цифрою.
Висновок
Розуміння надвеликих чисел відкриває нові горизонти для наукових досліджень, програмування, криптографії та математичних задач.
Користуючись знанням про гігантські числові значення, людство може краще оцінювати масштабні обчислення, працювати з алгоритмами та моделювати складні процеси з високою точністю.
